12个小球称重问题?

  今天在群里有人问了“12个小球称重问题”,众人一筹莫展之际,我想了想就解答出来了。
  原题是:从12个球中找出重量不一样的1个球,最多只能用天平称3次,没有砝码。
  [我的解答]:将12个小球依次分别编号:1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12,并分成三组1、2、3、4 / 5、6、7、8 / 9、10、11、12;
  将 1+2+3+4 与 5+6+7+8 放在天平上称第一次,就是比谁重啊;
  情况一:1+2+3+4 = 5+6+7+8. //***称第一次***//
      再称 6+7+8 | 9+10+11. //***称第二次***//
      (a)若 6+7+8 = 9+10+11,则次品是 12. //***两次搞定,不用称第三次了。 
      (b)若 6+7+8 > 9+10+11,则次品在 9+10+11 中。 
      称 9 | 10,若等,则 11 为次品且轻;若不等,则轻为次品。 //***三次搞定***//
      (c)若 6+7+8 < 9+10+11,推理过程与(b)相似.
 
  情况二:1+2+3+4 ≠ 5+6+7+8. //***称第一次***// 
      不妨设 1+2+3+4 > 5+6+7+8,反之亦然。
      称 1+2+5 | 3+4+6. 
      (a)若等,则次品在 7、8 中且轻; //***称第二次***//
      再称 7 | 8,轻者为次品。 //***三次搞定***// 
      (b)若不等,则次品在 1~6 中;
      不妨设 1+2+5 > 3+4+6,反之亦然。
      称 2+3+5 | 1+4+7. //***称第三次***//
        (i)若等,则 1~5 为正品,故 6 为次品且轻。
        (ii)若 2+3+5 > 1+4+7.
          若次品重,则次品在{2、3、5}∩{1、2、5}∩{1、2、3、4}={2}.  
          若次品轻,则次品在{3、4、6}∩{1、4、7}∩{5、6、7、8}= 空集.//***为空***//
        由此推断次品为 2 且重;
        (iii)若 2+3+5 < 1+4+7,则与(ii)类同。

  综上所述,本题解答完毕。
  解决这道题有三个关键:1、给球编号,便于去做有逻辑的推测;2、好球都一样重,可以当作称重的砝码,次品或轻或重,需要假设;3、不要拘泥与用天平称几次,因为实际情况要比推测简单得多。